Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）^{3}，x≤m}\\{|2x-1|，x＞m}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)a，使得函數(shù)g（x）=f（x）-a有兩個零點，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-a有兩個零點，可得f（x）=a有兩個零點，即y=f（x）與y=a的圖象有兩個交點，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求m的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-a有兩個零點，
∴f（x）=a有兩個零點，即y=f（x）與y=a的圖象有兩個交點，
由（2x-1）³=|2x-1|可得，x=1或x=$\frac{1}{2}$，
①當(dāng)m＞1時，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，

此時存在a，滿足題意，故m＞1滿足題意；
②當(dāng)m=1時，由于函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意；
③當(dāng)$\frac{1}{2}$＜m＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意；

④m=$\frac{1}{2}$時，f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意；
⑤當(dāng)m＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，

此時存在a使得，y=f（x）與y=a有兩個交點．
綜上可得，m＜$\frac{1}{2}$或m＞1．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

點評 本題考察了函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．