Question

7．設(shè)x=m和x=n是函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x的兩個極值點，其中m＜n，a＞0．
（Ⅰ）若a=2時，求m，n的值；
（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)f′（x），得到方程x²-3x+2=0，從而可得m，n是方程x²-3x+2=0的兩個根，從而求解．
（Ⅱ）由已知有m，n是方程x²-（a+1）x+2=0的兩個根，可得△=（a+1）²-8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0，化簡f（m）+f（n）=2lnm+$\frac{1}{2}$m²-（a+1）m+2lnn+$\frac{1}{2}$n²-（a+1）n=-$\frac{1}{2}$（a+1）²-2+2ln2．從而求得．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-（a+1）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+2}{x}$，
∴當(dāng)a=2時，f′（x）=0可化為x²-3x+2=0，
故m，n是方程x²-3x+2=0的兩個根，
∴m=1，n=2．
（Ⅱ）由已知有m，n是方程x²-（a+1）x+2=0的兩個根，
∴△=（a+1）²-8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0．
∴f（m）+f（n）=2lnm+$\frac{1}{2}$m²-（a+1）m+2lnn+$\frac{1}{2}$n²-（a+1）n
=2ln（mn）+$\frac{1}{2}$（m²+n²）-（a+1）（m+n）
=2ln2+$\frac{1}{2}$[（m+n）²-2nm]-（a+1）（m+n）
=2ln2+$\frac{1}{2}$[（a+1）²-4]-（a+1）²
=-$\frac{1}{2}$（a+1）²-2+2ln2．
∵（a+1）²＞8，
∴f（m）+f（n）＜2ln2-6，
即f（m）+f（n）的取值范圍為（-∞，2ln2-6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．