Question

17．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接將x=$\frac{π}{4}$代入計算即可．
（Ⅱ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
那么：f（$\frac{π}{4}$）=（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）²+cos2×$\frac{π}{4}$-1．
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+cos$\frac{π}{2}-1$
=1；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x-1．
化簡可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）是單調(diào)遞增，
解得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]（k∈Z）．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力，函數(shù)性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式的計算．屬于中檔題．