Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

lnx+x2-a

（a∈R），若存在b∈[1，e]，使得f（f（b））=b成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[0，1]
• B、[0，2]
• C、[1，2]
• D、[-1，0]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，得到函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]．因此，將方程

lnx+x2-a

=x，化簡整理得lnx=a，記F（x）=e^x，G（x）=a，求出F（x）=lnx在[1，e]內(nèi)的值域，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
根據(jù)

lnx+x2-a

=x，化簡整理得lnx=a．
記F（x）=lnx，G（x）=a，
由x∈[1，e]，
可得F（x）∈[0，1]，即0≤a≤1．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題