Question

12．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3-x），f （2011）=3，則不等式f （x）＜3e^x-1的解集為（　�。�

• A． （e，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，推出函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．化簡f（2011）=f（-1）=f（1）=3，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用函數(shù)g′（x）＜0，推出g（x）在R上是單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化不等式f （x）＜3e^x-1，推出g（x）＜g（1），求解即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f（x+1）=f（3-x）=f（x-3），
所以f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
因?yàn)閒（2011）=f（-1）=f（1）=3，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
所以g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
所以g（x）在R上是單調(diào)遞減，
不等式f （x）＜3e^x-1等價(jià)于$\frac{f（x）}{{e}^{x}}＜\frac{3}{e}$，即g（x）＜g（1），
所以x＞l．
所以不等式f （x）＜3e^x-1的解集為（l，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查構(gòu)造法以及抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．