Question

3．已知雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，若雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，得到$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，由此能求出雙曲線C的離心率．

解答 解：∵雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵雙曲線C的一條漸近線與直線$\sqrt{3}x+y-4=0$平行，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2b，
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用．