Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°．
（1）求△ABC的面積；
（2）設(shè)M是△AB內(nèi)一點，S△MBC=

1

2

，設(shè)f（M）=（m，n），其中m，n分別是△MCA，△MAB的面積，求

1

m

+

4

n

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）通過向量的數(shù)量積，求出三角形兩邊的乘積，最后代入三角形面積公式求出結(jié)果即可．
（2）利用向量的數(shù)量積的運算求得b、c的值，利用三角形的面積公式求得m+n的值，進而把

1

m

+

4

n

轉(zhuǎn)化成2（

1

m

+

4

n

）×（m+n），利用基本不等式求得

1

m

+

4

n

的最小值．

解答： 解：（1）由題意可知：

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

可得|

AB

|•|

AC

|=4，
因此S△ABC=

1

2

•|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1，
文科：（2）由于S_△ABC=S_△MBC+S_△MCA+S_△MAB，且S△MBC=

1

2

，
則S△MCA+S△MAB=

1

2

，即m+n=

1

2

，
故

1

m

+

4

n

=2(

1

m

+

4

n

)•

1

2

=2(

1

m

+

4

n

)•(m+n)=2(1+

n

m

+

4m

n

+4)≥2•(5+4)=18，即(

1

m

+

4

n

)min=18
當且僅當

n

m

=

4m

n

，即n=

1

3

，m=

1

6

時取等號．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運算．要注意靈活利用y=ax+

b

x

的形式．