Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若f（2）=1，求不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=1代入f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），得f（1）；
（2）逆用條件f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），利用函數(shù)單調(diào)性的定義；
（3）先推導(dǎo)f（4）=2，不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2可化為f[x（x-3）]≤f（4），再利用單調(diào)性得出x（x-3）≤4．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1代入f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），得f（1）=f（1）-f（1），∴f（1）=0
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）∵f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），∴f(

1

x

)=f(1)-f(x)=0-f(x)=-f(x)，
∴f(

1

2

)=-f(2)，∴f(4)=f(

2

1 2

)=f(2)-f(

1

2

)=f(2)-[-f(2)]=2f（2）=2，
∵f(x)-f(

1

x-3

)=f(

x

1 x-3

)=f[x(x-3)]
∴不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2可化為f[x（x-3）]≤f（4）
∴

x＞0 1 x-3 ＞0 x(x-3)≤4

，解得3＜x≤4，
∴不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于高檔題．