Question

已知f（x）=x-e 

x

a

存在單調遞減區(qū)間．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）判斷曲線y=f（x）在x=0的切線能否與曲線y=e^x相切？若存在，求出a，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：

x1

x2

＜

e

a

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點對定義域分段，可得結論；
（Ⅱ）求出曲線y=f（x）在x=0的切線方程，假設切線與曲線y=e^x相切，設出切點，由斜率相等及切點在切線上聯(lián)立推出矛盾；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）先增后減，有最大值，若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），則最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x₂-x₁＞alna-a，把x₁，x₂代入原函數(shù)得到x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，作比后利用放縮可證得要求證的不等式．

解答： （Ⅰ）解：令f′（x）=0，得1-

1

a

e

x

a

=0，
①a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，不符合題意；
②a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna）上為增函數(shù)，在{alna，+∞）上為減函數(shù)．
（Ⅱ）解：由f（x）=x-e 

x

a

，得：f′（x）=1-

1

a

e

x

a

，則f′（0）=1-

1

a

，f（0）=-1．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線l的方程為y=（1-

1

a

）x-1．
若l與曲線y=e^x相切，設切點為（x₀，y₀），則

ex0=1- 1 a ex0=(1- 1 a )x0-1

①．
由a＞0，得：0＜ex0=1-

1

a

＜1，∴x₀＜0，
由①得x0=1+

1

1- 1 a

＞1．與x₀＜0矛盾．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線不能與曲線y=e^x相切．
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．
∴l(xiāng)na＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x₂-x₁＞alna-a，又x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，
∴

x1

x2

=e

1

a

(x1-x2)＜e

1

a

(a-alna)=

e

a

．

點評：本題考查了利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用了分類討論的數(shù)學思想，特別是（Ⅲ）的證明涉及到放縮法的思想，是該題的難點所在，此題屬有一定難度問題．