Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n為正整數(shù)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=2ⁿa_n，c_n=$\frac{1}{2_{n}^{2}-_{n}}$，若T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證T_n$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）首先證得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，再由柯西不等式和放縮法，化簡(jiǎn)整理，即可得到右邊成立．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n為正整數(shù)），
∴a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，化為：2a_n=a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
變形為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴2ⁿa_n=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
（2）證明：令b_n=2ⁿa_n=n，
c_n=$\frac{1}{2_{n}^{2}-_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-n}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）$，
則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）]$
∵1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，
由柯西不等式可得，$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$，
由$\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n}$，
即有$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$＜$\sqrt{n•\frac{1}{2n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）]$＜2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式和放縮法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于難題．