1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-($\frac{1}{2}$)n-1+2(n為正整數(shù)).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=2nan,cn=$\frac{1}{2_{n}^{2}-_{n}}$,若Tn=c1+c2+c3+…+cn,求證Tn$<\frac{3}{2}$.

分析 (1)利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)首先證得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$,再由柯西不等式和放縮法,化簡(jiǎn)整理,即可得到右邊成立.

解答 (1)解:∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-($\frac{1}{2}$)n-1+2(n為正整數(shù)),
∴a1=S1=-a1-1+2,解得a1=$\frac{1}{2}$.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-an-($\frac{1}{2}$)n-1+2-$[-{a}_{n-1}-(\frac{1}{2})^{n-2}+2]$,化為:2an=an-1+$(\frac{1}{2})^{n-1}$,
變形為:2nan-2n-1an-1=1,
∴數(shù)列{2nan}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為1.
∴2nan=1+(n-1)=n,
∴an=$\frac{n}{{2}^{n}}$.
(2)證明:令bn=2nan=n,
cn=$\frac{1}{2_{n}^{2}-_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-n}$=2$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})$,
則Tn=c1+c2+c3+…+cn=2$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})]$
∵1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$)=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$,
由柯西不等式可得,$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$<$\sqrt{({1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2})(\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+…+\frac{1}{(2n)^{2}})}$,
由$\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+…+\frac{1}{(2n)^{2}}$<$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n}$,
即有$\sqrt{({1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2})(\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+…+\frac{1}{(2n)^{2}})}$<$\sqrt{n•\frac{1}{2n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$<$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=2$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$+…+$(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})]$<2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$<$\frac{3}{2}$,
則原不等式成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,考查不等式的證明,注意運(yùn)用柯西不等式和放縮法,結(jié)合不等式的性質(zhì),考查推理能力,屬于難題.

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