Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將n換為n-1，兩式相減，再由n=1，檢驗(yàn)即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出b_n=a_n•log₃a_n=3ⁿ•n，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=$\frac{3^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
兩式相減得：a_n=3ⁿ，
因?yàn)閍₁=S₁=3也滿足．
綜上，a_n=3ⁿ（n∈N^*）；
（Ⅱ）b_n=a_n•log₃a_n=3ⁿ•n，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•3+2•9+3•27+…+3ⁿ•n，
3T_n=1•9+2•27+3•81+…+3ⁿ⁺¹•n，
兩式相減得：-2T_n=3+9+27+…+3ⁿ-3ⁿ⁺¹•n
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-3ⁿ⁺¹•n，
化簡得：T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換相減法，考查數(shù)列的求和的方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．