Question

11．已知函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于點（3，0）對稱，若實數(shù)x，y滿足$f（{x^2}-2\sqrt{3}x+9）+f（{y^2}-2y）≤0$，則$\frac{y}{x}$的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象關(guān)于點（3，0）對稱將條件進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合直線斜率的幾何意義以及點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（3，0）對稱，
∴f（x+3）=-f（3-x），
即f（x+6）=-f（-x），即f（-x+6）=-f（x），
∵f（x²-$2\sqrt{3}$x+9）+f（y²-2y）≤0，
∴f（x²-$2\sqrt{3}$x+9）≤-f（y²-2y）=f[6-（y²-2y）]，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴得x²-$2\sqrt{3}$x+9≤6-（y²-2y），
化簡配方得（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²≤1，
∴圓心為（$\sqrt{3}$，1），半徑為1，
$\frac{y}{x}$的幾何意義為圓上動點到原點得斜率，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$．則y=kx，即kx-y=0，
則滿足圓心到直線的距離d=$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，
平方得為k²-$\sqrt{3}$k≤0，
解得0≤k≤$\sqrt{3}$，
∴0≤$\frac{y}{x}$≤$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[0，$\sqrt{3}$]

點評 本題考查不等式的求解，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)，將不等式進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及圓的有關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．