Question

9．若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）仍是x的函數(shù)，就把y′=f′（x）的導(dǎo)數(shù)y″=f″（x）叫做函數(shù)y=f（x）二階導(dǎo)數(shù)，記做y^（2）=f^（2）（x）．同樣函數(shù)y=f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，表示y^（n）=f^（n）（x）．在求y=ln（x+1）的n階導(dǎo)數(shù)時，已求得$y'=\frac{1}{x+1}，{y^{（2）}}=-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}，{y^{（3）}}=\frac{1•2}{{{{（x+1）}^3}}}$，${y^{（4）}}=-\frac{1•2•3}{{{{（x+1）}^4}}}，…$，根據(jù)以上推理，函數(shù)y=ln（x+1）的第n階導(dǎo)數(shù)為${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算和歸納推理即可求出答案．

解答 解：求y=ln（x+1）的n階導(dǎo)數(shù)時，已求得$y'=\frac{1}{x+1}，{y^{（2）}}=-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}，{y^{（3）}}=\frac{1•2}{{{{（x+1）}^3}}}$，${y^{（4）}}=-\frac{1•2•3}{{{{（x+1）}^4}}}，…$，根據(jù)以上推理，函數(shù)y=ln（x+1）的第n階導(dǎo)數(shù)為 ${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．
故答案為：${y^{（n）}}={（{-1}）^{n-1}}\frac{{（{n-1}）!}}{{{{（{1+x}）}^n}}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算和歸納推理的問題，屬于基礎(chǔ)題．