Question

5．已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ （m，n∈N^*）的展開式中x的系數為11，當x²的系數取得最小值時，f（x）展開式中x的奇次冪項的系數之和為30．

Answer 1

分析 由已知得${∁}_{m}^{1}+2{∁}_{n}^{1}$=11，可得：m+2n=11，x²的系數為${∁}_{m}^{2}$+2²${∁}_{n}^{2}$=$（m-\frac{21}{4}）^{2}$+$\frac{351}{16}$，由于m∈N^*，可得m=5時，x²的系數取得最小值22，此時n=3．f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．設這時f（x）的展開式為f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分別令x=1，x=-1，即可得出．

解答 解：由已知得${∁}_{m}^{1}+2{∁}_{n}^{1}$=11，∴m+2n=11，
x²的系數為${∁}_{m}^{2}$+2²${∁}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）}{2}$+4×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{m}^{2}-m}{2}$+（11-m）$（\frac{11-m}{2}-1）$=$（m-\frac{21}{4}）^{2}$+$\frac{351}{16}$，
∵m∈N^*，∴m=5時，x²的系數取得最小值22，此時n=3．
∴f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．
設這時f（x）的展開式為f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³，
令x=-1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1，
兩式相減得2（a₁+a₃+a₅）=60，故展開式中x的奇次冪項的系數之和為30．
故答案為：30．

點評 本題考查了二項式定理的應用、組合數的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．