Question

12．已知函數(shù)：f（x）=lnx-ax+1（a≠0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對于任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，若函數(shù)g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]+3在區(qū)間（a，4）上有最值，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，分a＞0，a＜0兩種情況寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對函數(shù)g（x）求導得g′（x）=3x²+（m+2a）x-1，根據(jù)g（x）在區(qū)間（a，4）上有最值，得到g（x）在區(qū)間（a，4）上總不是單調(diào)函數(shù)，從而得到g′（0）=-1，得到$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（4）＞0}\end{array}\right.$，另由對任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分離參數(shù)即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
當a＞0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
當a＜0時，1-ax＞0，即f′（x）＞0，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
（2）g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]+3=x³+（$\frac{m}{2}$+a）x²-x+3，
∴g′（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在區(qū)間（a，4）上有最值，
∴g（x）在區(qū)間（a，4）上總不是單調(diào)函數(shù)，
又g′（0）=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（4）＞0}\end{array}\right.$，
由題意知：對任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜$\frac{1-{5a}^{2}}{a}$=$\frac{1}{a}$-5a，
∵a∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴m＜-$\frac{19}{2}$，
對任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（4）=4m+47+8a＞0恒成立，∴m＞-$\frac{51}{4}$，
∴-$\frac{51}{4}$＜m＜-$\frac{19}{2}$．

點評 此題是個中檔題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，體現(xiàn)了對分類討論和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的考查，特別是問題（2）的設置很好的考查學生對題意的理解與轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造性的分析問題、解決問題的能力和計算能力．