Question

4．已知拋物線Q：y²=2px（p＞0）．
（1）若Q上任意一點到焦點F的距離的最小值為1，求實數(shù)p的值．
（2）若點A在x軸上且在焦點F的右側(cè)，以FA為直徑的圓與拋物線在x軸上方交于不同的兩點M，N，求證：FM+FN=FA．

Answer 1

分析 （1）設Q（x₀，y₀），（x₀≥0），利用定義可得：|QF|=x₀+$\frac{p}{2}$≥$\frac{p}{2}$，即可得出．
（2）設A（t，0），t＞$\frac{p}{2}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．可得線段FA的中點G$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}，0）$．可得⊙G的方程，結(jié)合拋物線化為：x²+$（\frac{3p}{2}-t）$x+$\frac{pt}{2}$=0．由于|FM|+|FN|=x₁+x₂+p，及|FA|=t-$\frac{p}{2}$．即可證明．

解答 （1）解：設Q（x₀，y₀），（x₀≥0），則|QF|=x₀+$\frac{p}{2}$≥$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
（2）證明：設A（t，0），t＞$\frac{p}{2}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
可得線段FA的中點G$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}，0）$．
∴⊙G的方程為：$（x-\frac{t+\frac{p}{2}}{2}）^{2}$+y²=$（\frac{t+\frac{p}{2}}{2}-\frac{p}{2}）^{2}$，
化為${x}^{2}-（t+\frac{p}{2}）$x+y²+$\frac{pt}{2}$=0，又y²=2px．
∴x²+$（\frac{3p}{2}-t）$x+$\frac{pt}{2}$=0．
∴x₁+x₂=t-$\frac{3}{2}$p．
∴|FM|+|FN|=x₁+x₂+p=t-$\frac{1}{2}$p．
又|FA|=t-$\frac{p}{2}$．
∴|FM|+|FN|=|FA|．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、圓的方程、曲線相交問題、中點坐標公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．