Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4）．
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的正弦值；
（2）若$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式，求得向量夾角的余弦值，由同角的平方關(guān)系，可得夾角正弦值；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，4），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1×（-3）+2×4=5，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{9+16}$=5，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$），則$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+λ$\overrightarrow b$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$²+λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即5+5λ=0，
解得λ=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的夾角的正弦值，同時(shí)考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于基礎(chǔ)題．