Question

已知函數f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
（1）求y=f（x）在點P（0，1）處的切線方程；
（2）設g（x）=f（x）+x-1僅有一個零點，求實數m的值；
（3）試探究函數f（x）是否存在單調遞減區(qū)間？若有，設其單調區(qū)間為[t，s]，試求s-t的取值范圍？若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程即可；
（2）先寫出g（x）的解析式，可知g（0）=0，顯然x=0為y=g（x）的一個零點；再利用導數g′（x）=mx-1+研究函數y=g（x）在（-1，+∞）上單調性，從而求出m的值；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設y=f（x）存在單調區(qū)間，再利用導數工具研究函數的單調區(qū)間，求出s-t的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）∵點P在函數y=f（x）上，由f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
得：f′（x）=mx-2+（m≥1）；
∴y′|_x=0=-1 故切線方程為：y=-x+1…（3分）
（2）由g（x）=f（x）+x-1=mx²-x+ln（x+1），
可知：定義域為（-1，+∞），且g（0）=0，顯然x=0為y=g（x）的一個零點；
則g′（x）=mx-1+…（5分）
①當m=1時，g′（x）=0，即函數y=g（x）在（-1，+∞）上單調遞增，g（0）=0，故僅有一個零點，滿足題意．…（6分）
②當m＞1時，則，列表分析：

x	（-1，）		（，0）		（0，+∞）
g′（x）	+		-		+
g（x）	增	極大值 g（）	減	極小值	增

又∵x→-1時，g（x）→-∞，∴g（x）在（-1，）上有一根，這與y=g（x）僅有一根矛盾，
故此種情況不符題意．…（9分）
（3）假設y=f（x）存在單調區(qū)間，由f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
f（x）=得：f′（x）=mx-2+=，…（10分）
令h（x）=mx²+（m-2）x-1，∵△=m²+4＞0，h（-1）=m+2-m-1=1＞0，
∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在兩個不同的實數根s，t，…（12分）
即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0的解集為（t，s），即函數f（x）存在單調區(qū)間[t，s]，
則s-t=，由m≥1可得：s-t∈（1，]…（14分）
點評：本題考查了導數的幾何意義及利用導數研究函數的單調性的處理策略，解題時，弄清題意，合理運用導數工具的處理策略是關鍵