Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x-2

x+2

；
（1）判斷函數(shù)奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）若函數(shù)的定義域?yàn)閇α，β]，值域?yàn)閇log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數(shù)．求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出定義域，再計(jì)算f（x）+f（-x），即可判斷奇偶性；
（2）由函數(shù)反解出x，再將x換為y，y換為x，即可得到反函數(shù)；
（3）運(yùn)用減函數(shù)可得f（α）=log_aa（α-1），f（β）=log_aa（β-1），求出α，β＞2，且為ax²+（a-1）x+2（1-a）=0的兩根，運(yùn)用判別式大于0，對(duì)稱(chēng)軸大于2，代入x=2大于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）由

x-2

x+2

＞0，解得x＞2或x＜-2．
則定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又f（x）+f（-x）=log_a

x-2

x+2

+log_a

-x-2

-x+2

=log_a1=0，
所以f（x）為奇函數(shù)；
（2）由y=log_a

x-2

x+2

，即有

x-2

x+2

=a^y，
解得x=

2(1+ay)

1-ay

，
則有f-1(x)=

2(1+ax)

(1-ax)

(x≠0)；
（3）按題意，得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)，
∴

α-2 α+2 ＞0 α-1＞0

，即α＞2，
又loga

β-2

β+2

=f（x）_min=log_aa（β-1），
同樣可得，β＞2．
∴關(guān)于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）內(nèi)有二不等實(shí)根α、β．
?關(guān)于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）內(nèi)有二異根α、β，
則有

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

即有

a＞0且a≠1 a＞1或a＜ 1 9 0＜a＜ 1 5 a＞0

，
故0＜a＜

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查反函數(shù)的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查二次方程實(shí)根的分布，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．