Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，a_n=$\frac{3}{n+2}$S_n（n∈N^•），則S_n=$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）$．

Answer 1

分析 先寫出a_n，利用累乘法求出通項，再求S_n．

解答 解：${S}_{n}=\frac{n+2}{3}{a}_{n}$，${S}_{n-1}=\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$，
兩式相減得：${a}_{n}=\frac{n+2}{3}{a}_{n}-\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$；
累乘法得：${a}_{n}={a}_{1}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}…\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$1×\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×…×\frac{n+1}{n-1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$
前n項和S_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=$\frac{1}{2}$（1²+2²+3²+…+n²+1+2+3+…_n）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）$+$\frac{1}{2}n（n+1）$]
=$\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）$
故答案為 $\frac{1}{6}n（n+1）（n+2）$

點評 本題考查采用累乘法求前n項和，屬于中檔題．