Question

20．給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），其圖象上任一點P（x，y）滿足x²-y²=1，則函數(shù)y=f（x）可能是奇函數(shù)；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率是$\frac{π}{4}$
④函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）恒為正，則 實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$）．
其中真命題的序號是①②④．（請?zhí)钌纤�有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷．
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)結(jié)合雙曲線的圖象進(jìn)行判斷．
③根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行判斷．
④利用不等式恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：①命題“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；故①正確，
②函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），其圖象上任一點P（x，y）滿足x²-y²=1，則函數(shù)y=f（x）可能是奇函數(shù)；正確，當(dāng)點P的坐標(biāo)滿足y=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-1}}&{x＜-1}\\{-\sqrt{{x}^{2}-1}}&{x＞1}\end{array}\right.$時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．故②正確，
③若a，b∈[0，1]，則不等式${a^2}+{b^2}＜\frac{1}{4}$成立的概率是$P=\frac{{\frac{1}{4}×π×{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{1×1}=\frac{π}{16}$．如圖．所以③錯誤
④因為函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，
所以在[2，+∞）上x²-ax+2＞1恒成立，
即：在[2，+∞）上$a＜x+\frac{1}{x}$恒成立，
令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，$g′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$
因為x≥2，所以$g′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，
所以g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
所以：當(dāng)x=2時，g（x）的最小值為g（2）=$\frac{5}{2}$，
所以$a＜\frac{5}{2}$．則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$）．故④正確，
故答案為：①②④

點評 本題考查各種命題的真假判斷，正確利用相關(guān)知識進(jìn)行推理，要求熟練進(jìn)行應(yīng)用．