Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，給定數(shù)列{a_n}，其中a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若{a_n}為常數(shù)數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，探究{+2}能否是等比數(shù)列？若是，求出{a_n}的通項(xiàng)公式；若不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)b_n=3na_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)a=1時(shí)，求證：S_n＞4-（n+2）（）^n-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于a₁=a，{a_n}為常數(shù)數(shù)列，得知a=f（a），將其代入f（x）=，從而求出a的值；
（2）根據(jù)a_n+1=f（a_n）取倒數(shù)化簡(jiǎn)得，再考慮首項(xiàng)是否為0分類討論，它是否是等比數(shù)列．
（3）根據(jù)（2）得a=1時(shí)，它是等比數(shù)列，從而求出a_n的通項(xiàng)公式，并放縮，得，
∴，令右式=T_n，再用錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn)右式得T_n=，從而得證．
解答：解：（1）若{a_n}為常數(shù)數(shù)列，則a_n=a，由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），（1分）
f（x）=，∴，即a=2a（a+1）解得：a=0或．
（2）∵f（x）=，∴a_n+1=f（a_n）=，
當(dāng)a₁=a≠0時(shí)，a_n≠0，
∴，
∴，
∴+2=+2，…（6分）
∴①當(dāng)a=-時(shí)，由（1）知，∴不是等比數(shù)列．…（7分）
②當(dāng)時(shí)，，∴是以2為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，…（8分）
∴，∴     …（9分）
（3）當(dāng)a=1時(shí)，，…（10分）
∴
∴…（11分）
設(shè)①
則，②
由①-②得：
=
∴，（13分），
所以…（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列的判斷，關(guān)鍵在于其首項(xiàng)是否為0，比值是否為常數(shù)．同時(shí)還考查了放縮法及數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．