Question

17．在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c且sinC+cosC=1-sin$\frac{C}{2}$．
①求cosC；  
 ②若a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11，求c邊．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
②由a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11利用配方法得a=2，b=$\sqrt{7}$，然后利用余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：①∵sinC+cosC=1-sin$\frac{C}{2}$，
∴2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$+1-2sin²$\frac{C}{2}$=1-sin$\frac{C}{2}$，
即2sin$\frac{C}{2}$（sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$）=sin$\frac{C}{2}$，
∵sin$\frac{C}{2}$≠0，∴sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
平方得1-sinC=$\frac{1}{4}$，則sinC=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{π}{4}$＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜C＜π，
則cosC=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
②若a²+b²=2（2a+$\sqrt{7}$b）-11，
即（a-2）²+（b-$\sqrt{7}$）²=0，
則a-2=0且b-$\sqrt{7}$=0，則a=2，b=$\sqrt{7}$，
則c²=4+7-2×2×$\sqrt{7}$×（-$\frac{\sqrt{7}}{4}$）=18，
則c=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．