Question

19．如圖，在△ABC中，記$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，∠B=$\frac{π}{3}$，AB=8，點D在BC邊上，且CD=2，cos∠ADC=$\frac{1}{7}$．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{DA}$；
（Ⅱ）若以B點為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸（正方向為向右）建立平面直角坐標(biāo)系，使得點A落在第一象限．點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，設(shè)$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b（m，n∈R）$，求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設(shè)$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow$（0＜λ＜1），從而$\overrightarrow{DC}=（1-λ）\overrightarrow$，這便可得到$（1-λ）|\overrightarrow|=2$，而$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$，根據(jù)條件即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{8}{1-λ}，{\overrightarrow}^{2}=\frac{4}{（1-λ）^{2}}$，從而便可求出$cos∠ADC=\frac{2-\frac{λ}{1-λ}}{\sqrt{12+（2-\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}=\frac{1}{7}$，這樣便可解出$λ=\frac{3}{5}$，從而用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出向量$\overrightarrow{DA}$；
（Ⅱ）根據(jù)題意便可求出點B，A，C三點的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)，這樣根據(jù)$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow$便可求出$\overrightarrow{BP}=（4m+5n，4\sqrt{3}m）$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{x=4m+5n}\\{y=4\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，這樣即可求出$m-n=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{20\sqrt{3}}y$，從而由線性規(guī)劃的知識即可求出m-n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意不妨設(shè)$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow（0＜λ＜1）$，則$\overrightarrow{DC}=（1-λ）\overrightarrow$；
∴$（1-λ）|\overrightarrow|=2$；
$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$；
又$|\overrightarrow{a}|=8，∠B=\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=8•\frac{2}{1-λ}•\frac{1}{2}=\frac{8}{1-λ}，{\overrightarrow}^{2}=\frac{4}{（1-λ）^{2}}$；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}=（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）•（1-λ）\overrightarrow$=$（1-λ）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-λ（1-λ）{\overrightarrow}^{2}$=$8-\frac{4λ}{1-λ}$，${\overrightarrow{DA}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{λ}^{2}{\overrightarrow}^{2}=64-\frac{16λ}{1-λ}$$+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}$；
∴$cos∠ADC=\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{8-\frac{4λ}{1-λ}}{\sqrt{64-\frac{16λ}{1-λ}+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}}•2}=\frac{2-\frac{λ}{1-λ}}{\sqrt{12+（2-\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}=\frac{1}{7}$；
解得$λ=\frac{3}{5}$；
∴$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow$；
（Ⅱ）由題意知$B（0，0），A（4，4\sqrt{3}），C（5，0）$；
∴$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}=（4，4\sqrt{3}），\overrightarrow=\overrightarrow{BC}=（5，0）$；
∴$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow=m（4，4\sqrt{3}）+n（5，0）$=$（4m+5n，4\sqrt{3}m）$；
又P（x，y），∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4m+5n}\\{y=4\sqrt{3}m}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{y}{4\sqrt{3}}}\\{n=\frac{1}{5}（x-\frac{y}{\sqrt{3}}）}\end{array}\right.$；
∴$m-n=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{20\sqrt{3}}y$；
∵點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，由線性規(guī)劃知識知，當(dāng)點P處于點A（$4，4\sqrt{3}$）位置時m-n最大，且最大值為1．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量長度的求法：$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$，以及向量夾角的余弦公式，完全平方式的運用，能求平面直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運算，以及線性規(guī)劃的方法求變量的最值．