Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{k+x}{k-x}•{e^x}$（k∈R）．
（Ⅰ）若k=1，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)k≤0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{\sqrt{3}，2\sqrt{2}}）$上存在極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）k=1，求出函數(shù)f（x）的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線的斜率，然后求解切線的方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠k}，導(dǎo)函數(shù)，（1）當(dāng)k＞0時，求出$-\sqrt{{k^2}+2k}＜k＜\sqrt{{k^2}+2k}$．令f'（x）＜0，令f'（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）當(dāng)k=0時，當(dāng)k=-2時，當(dāng)-2＜k＜0時，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）當(dāng)k＜-2時，此時$-\sqrt{{k^2}+2k}＞k$．令f'（x）＜0，令f'（x）＞0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅲ）（1）當(dāng)-2≤k≤0時，說明函數(shù)不存在極值點；（2）當(dāng)k＜-2時，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\sqrt{3}，2\sqrt{2}）$上存在極值點，推出$\sqrt{3}＜\sqrt{{k^2}+2k}＜2\sqrt{2}$，得到-4＜k＜-3．即可說明結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）若k=1，函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠1}，$f'（x）=\frac{{{e^x}（3-{x^2}）}}{{（1-x{）^2}}}$．
則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線的斜率為f'（0）=3．
而f（0）=1，則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線的方程為y=3x+1．
…（3分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠k}，$f'（x）=\frac{{{e^x}（2k+{k^2}-{x^2}）}}{{（k-x{）^2}}}$．
（1）當(dāng)k＞0時，由x≠k，且此時$\sqrt{{k^2}+2k}＞k$，可得$-\sqrt{{k^2}+2k}＜k＜\sqrt{{k^2}+2k}$．
令f'（x）＜0，解得$x＜-\sqrt{{k^2}+2k}$或$x＞\sqrt{{k^2}+2k}$，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
令f'（x）＞0，解得$-\sqrt{{k^2}+2k}＜x＜\sqrt{{k^2}+2k}$，但x≠k，
所以當(dāng)$-\sqrt{{k^2}+2k}＜x＜k$，$k＜x＜\sqrt{{k^2}+2k}$時，函數(shù)f（x）也為增函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（-∞，-\sqrt{{k^2}+2k}）$，$（\sqrt{{k^2}+2k}，+∞）$，
單調(diào)增區(qū)間為$（-\sqrt{{k^2}+2k}，k）$，$（k，\sqrt{{k^2}+2k}）$．
（2）當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．
當(dāng)k=-2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），（-2，+∞）．
當(dāng)-2＜k＜0時，由2k+k²＜0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，k），（k，+∞）．
即當(dāng)-2≤k≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，k），（k，+∞）．
（3）當(dāng)k＜-2時，此時$-\sqrt{{k^2}+2k}＞k$．
令f'（x）＜0，解得$x＜-\sqrt{{k^2}+2k}$或$x＞\sqrt{{k^2}+2k}$，但x≠k，
所以當(dāng)x＜k，$k＜x＜-\sqrt{{k^2}+2k}$，$x＞\sqrt{{k^2}+2k}$時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
令f'（x）＞0，解得$-\sqrt{{k^2}+2k}＜x＜\sqrt{{k^2}+2k}$，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，k），$（k，-\sqrt{{k^2}+2k}）$，$（\sqrt{{k^2}+2k}，+∞）$，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-\sqrt{{k^2}+2k}，\sqrt{{k^2}+2k}）$．         …（9分）
（Ⅲ）（1）當(dāng)-2≤k≤0時，由（Ⅱ）問可知，函數(shù)f（x）在（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$）上為減函數(shù)，
所以不存在極值點；
（2）當(dāng)k＜-2時，由（Ⅱ）可知，f（x）在$（-\sqrt{{k^2}+2k}，\sqrt{{k^2}+2k}）$上為增函數(shù)，
在$（\sqrt{{k^2}+2k}，+∞）$上為減函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\sqrt{3}，2\sqrt{2}）$上存在極值點，則$\sqrt{3}＜\sqrt{{k^2}+2k}＜2\sqrt{2}$，
解得-4＜k＜-3或1＜k＜2，
所以-4＜k＜-3．
綜上所述，當(dāng)-4＜k＜-3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{\sqrt{3}，2\sqrt{2}}）$上存在極值點．…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查分類討論思想轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．