Question

4．已知拋物線y²=2px（p＞0）上有兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）當拋物線的準線方程為$x=-\frac{1}{4}$時，作正方形ABCD使得邊CD直線方程為y=x+4，求正方形的邊長；
（2）拋物線上一定點Px₀，y_0）（y₀＞0），當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求證直線AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理得到弦長CD的值，由AB與CD的距離求得正方形的邊長，從而得到關(guān)于參數(shù)b的方程，進而通過b值得到邊長；
（2）由PA與PB的傾斜角互補時可知斜率互為相反數(shù)，結(jié)合已知條件中點的坐標得到兩直線的斜率表達式，從而得到關(guān)于P，A，B點坐標的關(guān)系式，將其整理變形可求得直線AB的斜率．

解答 解：（1）設(shè)CD的方程為y=x+b，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+b\\{y^2}=x\end{array}\right.$消去x得y²-y+b=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=1，y₁y₂=b，
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$$\sqrt{{{（{y_1}+{y_1}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{2-8b}$，
又AB與CD的距離d=$\frac{{|{4-b}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由ABCD為正方形有$\sqrt{2-8b}$=$\frac{{|{4-b}|}}{{\sqrt{2}}}$，
解得b=-2或b=-6；
∴正方形的邊長為3$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀，相減得：
（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀），
故k_PA=$\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$（x₁≠x₀）；
同理可得k_PB=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$（x₂≠x₀）；
由PA、PB傾斜率角互補知k_PA=-k_PB，
即$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$=-$\frac{2p}{{{y_2}+{y_0}}}$；
∴y₁+y₂=-2y₀，故$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{y_0}$=-2；
設(shè)直線AB的斜率為k_AB，由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁，
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁），
∴k_AB=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{2p}{{{y_2}+{y_1}}}$（x₁≠x₂）；
將y₁+y₂=-2，（y₀＞0）代入得：
k_AB=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_2}}}$=-$\frac{p}{y_0}$，
所以k_AB是非零常數(shù)．

點評 本題考查了直線與拋物線方程的應(yīng)用問題，也考查了韋達定理求弦長CD以及直線傾斜角與斜率的應(yīng)用問題，是綜合性題目．