Question

12．已知正三角形ABC的三個頂點都在球心為O、半徑為2的球面上，且三棱錐O-ABC的高為1，點D是線段BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值為$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁D、OD．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．而經(jīng)過點D的球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．

解答 解：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，結(jié)合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OC中，O₁C=$\sqrt{3}$．
又∵D為BC的中點，∴Rt△O₁DC中，O₁D=$\frac{1}{2}$O₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴Rt△OO₁D中，OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∵過D作球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當(dāng)截面與OD垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時截面圓的半徑r=$\frac{3}{2}$，可得截面面積為S=πr²=$\frac{9π}{4}$．
故答案為：$\frac{9π}{4}$．

點評 本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．