Question

18．已知直線(xiàn)l：y=k（x+2）與拋物線(xiàn)C：y²=8x相交于A、B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)C準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別是M、N，若|AM|=2|BN|，則k的值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 直線(xiàn)y=k（x+2）（k＞0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，0），推導(dǎo)出|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而能求出k的值．

解答 解：設(shè)拋物線(xiàn)C：y²=8x的準(zhǔn)線(xiàn)為l：x=-2
直線(xiàn)y=k（x+2）（k＞0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，0）
如圖過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|AM|=2|BN|，
得點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，
則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（1，2$\sqrt{2}$），
把B（1，2$\sqrt{2}$）代入直線(xiàn)l：y=k（x+2）（k＞0），
解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中參數(shù)的求法，考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．