分析 (1)a>0,b>0,($\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$)(a+b)=x2+y2+$\frac{a{y}^{2}}$+$\frac{b{x}^{2}}{a}$,利用基本不等式的性質(zhì)即可證明.
(2)由(1)得f(x)=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$=$\frac{(\sqrt{2})^{2}}{4-2si{n}^{2}x}$+$\frac{{1}^{2}}{3-2co{s}^{2}x}$,再利用(1)的結(jié)論即可得出.
解答 (1)證明:∵a>0,b>0,
∴($\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$)(a+b)=x2+y2+$\frac{a{y}^{2}}$+$\frac{b{x}^{2}}{a}$≥x2+y2+2xy=(x+y)2.當(dāng)bx=±ay時(shí),等號(hào)成立.
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$≥$\frac{(x+y)^{2}}{a+b}$.
(2)由(1)得f(x)=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$=$\frac{(\sqrt{2})^{2}}{4-2si{n}^{2}x}$+$\frac{{1}^{2}}{3-2co{s}^{2}x}$≥$\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{7-2si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$.當(dāng)sin2x=$\frac{5\sqrt{2}-6}{2}$時(shí)取等號(hào).
∴f(x)的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值,考查了變形推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{a}$>$\frac{1}$ | B. | $\frac{1}{a-b}$>$\frac{1}{a}$ | C. | a3<b3 | D. | |a|>|b| |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a<-1 | B. | -1<a<0 | C. | a<0 | D. | 0<a<1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|x≥-2} | B. | {x|x>-1} | C. | {x|x<-1} | D. | {x|x≤-2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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