Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（n²+3n）．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)列的前n項和分類求解數(shù)列的通項公式．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂項可求和．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（n²+3n）-$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]=n+1．
當(dāng)n=1時，a₁=s₁=2，顯然上式成立，
∴a_n=n+1，
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$

點評 本題考數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的前n項和求通項公式，裂項求數(shù)列的和的應(yīng)用．