Question

18．已知直線l：y=x+m（m∈R），雙曲線E：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）．
（1）若直線l與雙曲線E的其中一條漸近線平行，求雙曲線E的離心率；
（2）若直線l過雙曲線的右焦點F₂，與雙曲線交于P、Q兩點，且$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{FQ}$，求雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的漸近線與直線平行求出b，然后求出a，c即可求解雙曲線的離心率．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，通過向量相等，然后求解b，即可求解雙曲線的方程．

解答 解：（1）因為雙曲線的漸近線$y=±\frac{a}x$$⇒\frac{a}=1$，又因為$a=\sqrt{2}$，所以$b=\sqrt{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2+2}}}{2}=\sqrt{2}$．
（2）F₂（c，0），直線l：y=x-c，$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$，
（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0，所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{{-2c{b^2}}}{{{b^2}-2}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{{{b^2}{c^2}-2{b^2}}}{{{b^2}-2}}}\end{array}}\right.$，
因為$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{FQ}$，所以${y_1}=\frac{1}{5}{y_2}$，整理得：$\frac{{{c^2}{b^4}}}{{9（{b^2}-2）}}=\frac{{{b^2}{c^2}-2{b^2}}}{5}$，
因為b²＞0，所以c²-2=b²，$\frac{{{b^2}+2}}{{9（{b^2}-2）}}=\frac{1}{5}$，所以b²=7，
所以雙曲線C：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{7}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．