Question

6．設(shè)有窮數(shù)列{a_m}（m=1，2，3，4，…，n；n=2，3，4，…，）滿足以下兩個(gè)條件：
①$\sum_{i=1}^n{a_i}=0$；②$\sum_{i=1}^n{|{a_i}|}=1$；稱{a_m}為n階“單位數(shù)列”．
（Ⅰ）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“單位數(shù)列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）階“單位數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記n階“單位數(shù)列”的前k項(xiàng)和為S_k（k=1，2，3，…，n），
求證：（1）$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$；     （2）$|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結(jié)合已知新定義即可寫出符合條件的數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為d，由題意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a₁+a₂₀₁₃=0，從而可求得a₁₀₀₇=0，進(jìn)而可得a₁₀₀₈=d，分d＞0及d＜0兩種情況可求通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）（1）判斷k=n時(shí)，$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$，然后證明k＜n時(shí)，利用數(shù)列求和以及絕對(duì)值三角不等式證明即可；     
（2）通過數(shù)列求和，以及絕對(duì)值三角不等式和放縮法，利用裂項(xiàng)法求和，即可證明$|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列$-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$為三階單位數(shù)列…1分
數(shù)列$-\frac{3}{8}，-\frac{1}{8}，\frac{1}{8}，\frac{3}{8}$為四階單位數(shù)列，…..…..3分（其它答案酌情給分）
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴$（2k+1）{a_1}+\frac{2k（2k+1）d}{2}=0$，
∴a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…4分
當(dāng)d=0時(shí)，與單位數(shù)列的條件①②矛盾，…5分
當(dāng)d＞0時(shí)，據(jù)單位數(shù)列的條件①②得：${a_{k+2}}+{a_{k+3}}+…+{a_{2k+1}}=\frac{1}{2}$，
∴$kd+\frac{k（k-1）}{2}d=\frac{1}{2}，即d=\frac{1}{k（k+1）}$
由a_k+1=0得${a_1}+k•\frac{1}{k（k+1）}=0，即{a_1}=-\frac{1}{k+1}$，
∴${a_n}=-\frac{1}{k+1}+（n-1）\frac{1}{k（k+1）}=\frac{n}{k（k+1）}-\frac{1}{k}（n∈{N^*}，n≤2k+1）$．…7分
當(dāng)d＜0時(shí)，
同理可得$kd+\frac{k（k-1）}{2}d=-\frac{1}{2}，即d=-\frac{1}{k（k+1）}$，
由a_k+1=0，得${a_1}-k•\frac{1}{k（k+1）}=0，即{a_1}=\frac{1}{k+1}$，
∴${a_n}=\frac{1}{k+1}-（n-1）\frac{1}{k（k+1）}=-\frac{n}{k（k+1）}+\frac{1}{k}（n∈{N^*}，n≤2n+1）$．…8分
（Ⅲ）證明：（1）當(dāng)k=n時(shí)，顯然$|{S_n}|=0≤\frac{1}{2}$成立；…9分
當(dāng)k＜n時(shí)，據(jù)條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+|a_k+2|+…+|a_n|=1，
∴$|{S_k}|≤\frac{1}{2}（k=1，2，3，…，n）$．…11分
$（2）|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|=|{\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}+\frac{a_n}{n}}|$，
=$|{{S_1}+\frac{{{S_2}-{S_1}}}{2}+\frac{{{S_3}-{S_2}}}{3}+\frac{{{S_4}-{S_3}}}{4}+…+\frac{{{S_{n-1}}-{S_{n-2}}}}{n-1}+\frac{{{S_n}-{S_{n-1}}}}{n}}|$，
=$|{\frac{S_1}{2}+\frac{S_2}{2×3}+\frac{S_3}{3×4}+\frac{S_4}{4×5}+…+\frac{{{S_{n-1}}}}{（n-1）n}+\frac{S_n}{n}}|$，
$≤|{\frac{S_1}{2}}|+|{\frac{S_2}{2×3}}|+|{\frac{S_3}{3×4}}|+|{\frac{S_4}{4×5}}|+…+|{\frac{{{S_{n-1}}}}{（n-1）n}}|$，
$≤\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{（n-1）n}}）$，
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$，
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$．…13分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新數(shù)列新定義的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，放縮法以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度較大，考查計(jì)算能力，屬于難題．