Question

（本題滿分14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且（）.

（Ⅰ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:（）；

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝若a1適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；若a1不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．（Ⅱ）方法一利用進(jìn)行放縮，方法二先證,然后利用進(jìn)行放縮.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí),,解得或（舍去）． 2分

當(dāng)時(shí),,,相減得, 4分

即,又,所以,則,

所以是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故． 6分

（Ⅱ）證法一:當(dāng)時(shí),． 7分

當(dāng)時(shí), 10分

所以

.

綜上,對(duì)任意,均有成立. 14分

證法二:當(dāng)時(shí),． 7分

當(dāng)時(shí),先證,即證顯然成立.

所以 10分

所以

,

綜上,對(duì)任意,均有成立. 14分

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的應(yīng)用