Question

6．點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：
①三棱錐A₁-D₁DP的體積不變；  
②A₁P∥平面ACD₁；
③DP⊥BC₁；  
④平面A₁PB⊥平面PDB₁．
其中正確的命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 利用ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面平行、線面垂直、面面平行和垂直的判定和性質(zhì)，逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．

解答 解：如圖，

對(duì)于①，∵BC₁∥平面A₁DD₁，∴P到面A₁DD₁的距離不變，三棱錐A₁-D₁DP的體積不變，①正確；  
對(duì)于②，∵平面A₁BC₁∥平面ACD₁，∴A₁P∥平面ACD₁，②正確；
對(duì)于③，∵在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)與已知直線垂直的直線只有一條，∴DP⊥BC₁不正確，③不正確；  
對(duì)于④，∵BD₁⊥平面A₁BC₁，由線面垂直的判斷知，平面A₁PB⊥平面PDB₁，④正確．
故正確的命題為①②④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間先和面的位置關(guān)系，訓(xùn)練了系數(shù)的空間想象能力和思維能力，是中檔題．