Question

4．已知函數(shù)g（x）=$\frac{{4}^{x}+n}{{2}^{x}}$是奇函數(shù)，f（x）=log₄（4^x+1）-mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]對(duì)任意x≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，得g（0）=0，解得n=-1；再根據(jù)偶函數(shù)滿足f（-x）=f（x），比較系數(shù)可得m=$\frac{1}{2}$，由此即可得到m+n的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定義在R上的增函數(shù)g（x）在x≥1時(shí)的最小值為g（1）=$\frac{3}{2}$，從而不等式轉(zhuǎn)化成$\frac{3}{2}$＞log₄（2a+2），由此再結(jié)合真數(shù)必須大于0，不難解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由于g（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，
∴g（0）=0，即$\frac{1+n}{1}$=0，∴n=-1，…（3分）
∵f（x）=log₄（4^x+1）-mx
∴f（-x）=log₄（4^x+1）-（-m+1）x，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），得-mx=-（-m+1）x恒成立，故m=$\frac{1}{2}$，
綜上所述，可得m+n=-$\frac{1}{2}$；…（4分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵g（x）=2^x-2^-x在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）_min=$\frac{3}{2}$（3分）
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2＜{4}^{\frac{3}{2}}}\\{2a+1＞0}\\{2a+2＞0}\end{array}\right.$，∴$-\frac{1}{2}＜a＜3$
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：{a|-$\frac{1}{2}＜a＜3$}．…（3分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有指數(shù)和對(duì)數(shù)形式的函數(shù)，在已知奇偶性的情況下求參數(shù)m、n的值，并討論不等式恒成立的問題，著重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用、函數(shù)的奇偶性和不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．