Question

5．已知過點(diǎn)P（2，1）的直線l交兩坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，
（1）求使得△AOB的面積為4時直線l的方程；
（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在正半軸上，求使得AOB的面積最小時的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線l的方程，根據(jù)題意列出方程組，求出直線l的方程即可；
（2）根據(jù)題意，寫出A，B兩點(diǎn)在正半軸上時的關(guān)系式，利用基本不等式求出ab的最小值，即得出△AOB的面積取得最小值，求出對應(yīng)的a、b的值，即得直線l的方程．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)P（2，1）的直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1①，
又△AOB的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$|ab|=4，
即ab=±8②；
由①②組成方程組，解得
$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4-4\sqrt{2}}\\{b=-2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4+4\sqrt{2}}\\{b=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴直線l的方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
或$\frac{x}{-4-4\sqrt{2}}$+$\frac{y}{-2+2\sqrt{2}}$=1，
或$\frac{x}{-4+4\sqrt{2}}$+$\frac{y}{-2-2\sqrt{2}}$=1；
化簡，得x+2y-4=0，
或（-1+$\sqrt{2}$）x+（-2-2$\sqrt{2}$）y+4=0，
或（-1-$\sqrt{2}$）x+（-2+2$\sqrt{2}$）y+4=0；
（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在正半軸上時，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1（a＞0，b＞0）；
即a+2b=ab，
∴a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時“=”成立；
∴ab≥2$\sqrt{2ab}$，
即ab-2$\sqrt{2ab}$≥0；
設(shè)$\sqrt{2ab}$=t，則t＞0，
∴ab=$\frac{1}{2}$t²，上述不等式化為$\frac{1}{2}$t²-2t≥0，
解得t≥4或t≤0，
即$\sqrt{2ab}$≥4，解得ab≥8；
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab≥$\frac{1}{2}$×8=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=4，b=2時“=”成立；
∴△AOB的面積取最小值時直線l的方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
化為一般方程是x+2y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查了求直線方程的應(yīng)用問題，也考查了三角形的面積公式與基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．