Question

（本小題滿分12分）如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，

M，N分別是AB，PC的中點.

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

（本小題滿分12分）如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，

M，N分別是AB，PC的中點.

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.

證明  （1）連接AC，AN，BN，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，

在Rt△PAC中，N為PC中點，

∴AN=PC.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，

∴BN=PC.

∴AN=BN，

∴△ABN為等腰三角形，

又M為底邊的中點，∴MN⊥AB，

又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

（2）連接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.

∵四邊形ABCD為矩形.

∴AD=BC，∴PA=BC.

又∵M為AB的中點，∴AM=BM.

而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.

又N為PC的中點，∴MN⊥PC.

由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,

∴MN⊥平面PCD.