Question

5．在三棱錐S-ABC中，三條棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是邊BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線SM與AC所成的角的大��；
（2）設(shè)SA與平面ABC所成的角為α，二面角S-BC-A的大小為β，分別求cosα，cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)SD，MD，說明三角形SDM是等邊三角形，推出異面直線SM與AC成60°角．
（2）過S作SO⊥AM，垂足為O，說明SA與平面ABC所成的角α=∠SAM，通過求解三角形即可，二面角S-BC-A的大小β=∠SMA，通過三角形求解即可．

解答 解：（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)SD，MD，
顯然$SM=SD=MD=\frac{1}{2}AB$
所以三角形SDM是等邊三角形…（2分）
所以異面直線SM與AC成60°角…（4分）
（2）過S作SO⊥AM，垂足為O，

因?yàn)镾M⊥BC，AM⊥BC
所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO
所以SO⊥平面ABC
則SA與平面ABC所成的角α=∠SAM…（6分）
因?yàn)镾A⊥SB，SA⊥SC
所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM，
$cosα=\frac{SA}{AM}=\frac{a}{{\frac{{\sqrt{6}a}}{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
因?yàn)镾M⊥BC，AM⊥BC
則二面角S-BC-A的大小β=∠SMA…（10分），
$cosβ=\frac{SM}{AM}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{6}a}}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查二面角的平面角的余弦函數(shù)值的求法，異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力．