Question

16．設f（x）=（x-2）²e^x+ae^-x，g（x）=2a|x-2|（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于x方程f（x）=g（x）有且僅有6個不等的實數(shù)解．則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$，+∞）
• B． （e，+∞）
• C． （1，e）
• D． （1，$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$）

Answer 1

分析 f（x）=g（x），即（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，利用二次方程根的分布研究方法，即可得出結論．

解答 解：f（x）=g（x），即（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
①x=2，a=0時，x=2為函數(shù)的零點，不合題意；
②x≠2，令t=|x-2|e^x，則t²+a=2at，
x＞2，t=（x-2）e^x，t′=（x-1）e^x，在（2，+∞）上單調遞增；
x＜2，t=（2-x）e^x，t′=（1-x）e^x，在（-∞，1）上單調遞增，（1，2）上單調遞減，
∵關于x方程f（x）=g（x）有且僅有6個不等的實數(shù)解，
∴t∈（0，e），
令y=t²-2at+a，則$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a＞0}\end{array}\right.$，∴1＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$．
故選D．

點評 本題考查方程根問題，考查導數(shù)知識的運用，正確轉化是關鍵．