Question

19．已知f （x）是可導(dǎo)的函數(shù)，且f′（x）＜f（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（　�。�

• A． f（1）＜ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• B． f（1）＞ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• C． f（1）＞ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）
• D． f（1）＜ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可得出．

解答 解：f′（x）＜f（x），可得f′（x）-f（x）＜0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0．
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．
∴g（1）＜g（0），g（2016）＜g（0）．
即$\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（0）}{1}$，$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$＜$\frac{f（0）}{1}$，
化為f（1）＜ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯的綜合題，考查綜合運(yùn)用函數(shù)思想解題的能力．恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{e}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．