Question

7．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠A=60°，G為對角線AC上一點，且$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=6，過G的直線分別交兩腰AD，BC于M，N兩點，若$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$的最小值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作圖分析可得AD=2和AC=2$\sqrt{3}$，進而由數(shù)量積的計算公式可得AG=$\sqrt{3}$，即G是AC的中點，則有$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$，由平面向量基本定理可得$\overrightarrow{AG}$=$λ\overrightarrow{AM}$+$μ\overrightarrow{AN}$，（λ+μ=1），結(jié)合題意分析可得m=2λ，n=2μ，故有m+n=2；進而分析可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$）（m+n+1），由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖：作DE∥BC，由于∠A=60°，且AE=AB-CD=2，
則有AD=2，
又由∠ADC=120°，則有AC=2$\sqrt{3}$，
同時有∠CAD=∠CAB=30°，
若$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=6，則有$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AG}$||$\overrightarrow{AB}$|cos∠CAB=6，
則由AG=$\sqrt{3}$，即G是AC的中點，
則有$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$，
又由G、M、N三點共線，則有$\overrightarrow{AG}$=$λ\overrightarrow{AM}$+$μ\overrightarrow{AN}$，（λ+μ=1），
而$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$且$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}$，
則有m=2λ，n=2μ，
故有m+n=2；
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$）（m+n+1）=$\frac{1}{3}$×[2+$\frac{n+1}{m}$+$\frac{m}{n+1}$]≥$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$的最小值為$\frac{4}{3}$；
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查基本不等式的運用，涉及三角形的幾何計算以及平面向量的加法運算以及數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是分析得到G為AC的中點．