Question

5．某輛汽車以x千米/小時的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全要求60≤x≤120）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$升，其中k為常數(shù)，且60≤k≤100．
（1）若汽車以120千米/小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5升，欲使每小時的油耗不超過9升，求x的取值范圍；
（2）求該汽車行駛100千米的油耗的最小值．

Answer 1

分析 （1）將x=120代入每小時的油耗，解方程可得k=100，由題意可得$\frac{1}{5}$（x-100+$\frac{4500}{x}$）≤9，解不等式可得x的范圍；
（2）設該汽車行駛100千米油耗為y升，由題意可得y=$\frac{100}{x}$•$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$，換元令t=$\frac{1}{x}$、化簡整理可得t的二次函數(shù)，討論t的范圍和對稱軸的關系，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）由題意可得當x=120時，$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$=$\frac{1}{5}$（120-k+$\frac{4500}{120}$）=11.5，
解得k=100，由$\frac{1}{5}$（x-100+$\frac{4500}{x}$）≤9，
即x²-145x+4500≤0，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
每小時的油耗不超過9升，x的取值范圍為[60，100]；
（2）設該汽車行駛100千米油耗為y升，則
y=$\frac{100}{x}$•$\frac{1}{5}（{x-k+\frac{4500}{x}}）$=20-$\frac{20k}{x}$+$\frac{90000}{{x}^{2}}$（60≤x≤120），
令t=$\frac{1}{x}$，則t∈[$\frac{1}{120}$，$\frac{1}{60}$]，
即有y=90000t²-20kt+20=90000（t-$\frac{k}{9000}$）²+20-$\frac{{k}^{2}}{900}$，
對稱軸為t=$\frac{k}{9000}$，由60≤k≤100，可得$\frac{k}{9000}$∈[$\frac{1}{150}$，$\frac{1}{90}$]，
①若$\frac{k}{9000}$≥$\frac{1}{120}$即75≤k≤100，
則當t=$\frac{k}{9000}$，即x=$\frac{9000}{k}$時，y_min=20-$\frac{{k}^{2}}{900}$；
②若$\frac{k}{9000}$＜$\frac{1}{120}$即60≤k＜75，
則當t=$\frac{1}{120}$，即x=120時，y_min=$\frac{105}{4}$-$\frac{k}{6}$．
答：當75≤k≤100，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為20-$\frac{{k}^{2}}{900}$升；
當60≤k＜75，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為$\frac{105}{4}$-$\frac{k}{6}$升．

點評 本題考查函數(shù)模型在實際問題中的運用，考查函數(shù)的最值求法，注意運用換元法和二次函數(shù)的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．