Question

10．如圖，一個角形海灣AOB，∠AOB=2θ（常數(shù)θ為銳角）．?dāng)M用長度為l（l為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：
方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)OPQ，其中$\widehat{PQ}$=l； 
方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)OCD，其中CD=l；
（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積S₁；
（2）求證：方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S₂=$\frac{{l}^{2}}{4tanθ}$；
（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）方案一：設(shè)此扇形所在的圓的半徑為r，則l=r•2θ，可得r=$\frac{l}{2θ}$．利用扇形面積計算公式可得S₁．
（2）設(shè)OC=x，OD=y，利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：l²=x²+y²-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，可得：xy≤$\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$，即可得出．
（3）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{tanθ}{θ}$，令f（θ）=tanθ-θ，求導(dǎo)，可得f（θ）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增．令tanθ₀=θ₀∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．對θ與θ₀的大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：（1）方案一：設(shè)此扇形所在的圓的半徑為r，則l=r•2θ，∴r=$\frac{l}{2θ}$．
∴S₁=$\frac{1}{2}×l×\frac{l}{2θ}$=$\frac{{l}^{2}}{4θ}$．
證明：（2）設(shè)OC=x，OD=y，
則l²=x²+y²-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，
可得：xy≤$\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號．
∴養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S₂=$\frac{1}{2}×\frac{{l}^{2}}{4si{n}^{2}θ}$×sin2θ=$\frac{{l}^{2}}{4tanθ}$；
解：（3）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{tanθ}{θ}$，
令f（θ）=tanθ-θ，則f′（θ）=sec²θ-1=tan²θ＞0，
∴f（θ）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增．令tanθ₀=θ₀∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．
當(dāng)θ∈$（{θ}_{0}，\frac{π}{2}）$時，選取方案一；
當(dāng)θ=θ₀時，選取方案一或二都可以；
當(dāng)θ∈（0，θ₀）時，選取方案二．

點評 本題考查了扇形的面積計算公式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．