Question

（2012•鹽城一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=a(a＞0，a∈N*)，a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0（p≠0，p≠-1，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k，若將a_k+1，a_k+2，a_k+3按從小到大的順序排列后，此三項(xiàng)均能構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為d_k．
①求p的值及對(duì)應(yīng)的數(shù)列{d_k}．
②記S_k為數(shù)列{d_k}的前k項(xiàng)和，問(wèn)是否存在a，使得S_k＜30對(duì)任意正整數(shù)k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閍₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，兩式相減，得

an+1

an

=

p+1

p

(n≥2)，從而可知數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是公比為

p+1

p

的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）①由（1）得ak+1=

a

p

(

p+1

p

)k-1，ak+2=

a

p

(

p+1

p

)k，ak+3=

a

p

(

p+1

p

)k+1，再進(jìn)行分類討論：
[1]若a_k+1為等差中項(xiàng)，則2a_k+1=a_k+2+a_k+3；[2]若a_k+2為等差中項(xiàng)，則2a_k+2=a_k+1+a_k+3，；[3]若a_k+3為等差中項(xiàng)，則2a_k+3=a_k+1+a_k+2，從而可求p的值及對(duì)應(yīng)的數(shù)列{d_k}；
②分類討論，計(jì)算S_k，利用S_k＜30，建立不等式，再分離參數(shù)，由此可求滿足題意的最大正整數(shù)．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，
所以n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，兩式相減，得

an+1

an

=

p+1

p

(n≥2)，
故數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是公比為

p+1

p

的等比數(shù)列…（3分）
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁-pa₂=0，解得a2=

a

p

，
從而an=

a a p ( p+1 p )n-2

(n=1) (n≥2)

…（5分）
（2）①由（1）得ak+1=

a

p

(

p+1

p

)k-1，ak+2=

a

p

(

p+1

p

)k，ak+3=

a

p

(

p+1

p

)k+1，
[1]若a_k+1為等差中項(xiàng)，則2a_k+1=a_k+2+a_k+3，
即

p+1

p

=1或

p+1

p

=-2，解得p=-

1

3

…（6分）
此時(shí)ak+1=-3a(-2)k-1，ak+2=-3a(-2)k，
所以dk=|ak+1-ak+2|=9a•2k-1…（8分）
[2]若a_k+2為等差中項(xiàng)，則2a_k+2=a_k+1+a_k+3，即

p+1

p

=1，此時(shí)無(wú)解…（9分）
[3]若a_k+3為等差中項(xiàng)，則2a_k+3=a_k+1+a_k+2，即

p+1

p

=1或

p+1

p

=-

1

2

，解得p=-

2

3

，
此時(shí)ak+1=-

3a

2

(-

1

2

)k-1，ak+3=-

3a

2

(-

1

2

)k+1，
所以dk=|ak+1-ak+3|=

9a

8

•(

1

2

)k-1…（11分）
綜上所述，p=-

1

3

，dk=9a•2k-1或p=-

2

3

，dk=

9a

8

•(

1

2

)k-1…（12分）
②[1]當(dāng)p=-

1

3

時(shí)，Sk=9a(2k-1)，則由S_k＜30，得a＜

10

3(2k-1)

，
當(dāng)k≥3時(shí)，

10

3(2k-1)

＜1，
所以必定有a＜1，所以不存在這樣的最大正整數(shù)…（14分）
[2]當(dāng)p=-

2

3

時(shí)，Sk=

9a

4

(1-(

1

2

)k)，則由S_k＜30，得a＜

40

3(1-( 1 2 )k)

，
因?yàn)?span id="tlsnezc" class="MathJye">

40

3(1-( 1 2 )k)

＞

40

3

，所以a=13滿足S_k＜30恒成立；但當(dāng)a=14時(shí)，存在k=5，
使得a＞

40

3(1-( 1 2 )k)

即S_k＜30，
所以此時(shí)滿足題意的最大正整數(shù)a=13…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有難度．