Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線的傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

2

2

，
（1）求橢圓的方程；
（2）直線y=kx+2與橢圓交于P，Q兩點，點S是P，Q兩點的中點，問是否存在實數(shù)k，使得k_SO•k_PQ為一個定值，若存在，請證明，若不存，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用兩點連線的斜率公式及點到直線的距離公式列出橢圓的三個參數(shù)a，b，c的關系，通過解方程求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程．
（2）設出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出S的坐標，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵過點A（-a，0），B（0，b）的直線的傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

2

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

2

2

•

a2+b2

，
∴a=

3

，b=1，
∴橢圓方程是：

x2

3

+y2=1；
（2）將y=kx+2代入橢圓方程，消去y，可得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
∴S（

-6k

3k2+1

，

2

3k2+1

），
∴k_SO•k_PQ=

2 3k2+1

-6k 3k2+1

•k=-

1

3

，
△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1，
∴k＞1，或k＜-1時，k_SO•k_PQ為一個定值-

1

3

．

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關系找突破口．