Question

12．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）對(duì)?a∈（-3，-2），若存在x₁，x₂∈[1，2]，使不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞（m-2+ln2）a-2ln2恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0時(shí)，可求出f（x），進(jìn)而得出$f′（x）=\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可得出f（x）的極小值點(diǎn)，并求得該極小值，并判斷無(wú)極大值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{2a（x+\frac{1}{a}）（x-\frac{1}{2}）}{{x}^{2}}$，根據(jù)a的范圍，及x∈[1，2]便可判斷f′（x）＜0在[1，2]上成立，即f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，從而|f（x₁）-f（x₂）|在x₁，x₂∈[1，2]上的最大值為f（1）-f（2）=$（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a$，根據(jù)條件即可整理得到$ma＜\frac{1}{2}$，從而得到$m＞\frac{1}{2a}$，可求出$\frac{1}{2a}$的范圍，從而求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$；
令f'（x）=0，$x=\frac{1}{2}$；
∴$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＞0；
∴$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得極小值2-2ln2，無(wú)極大值；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}=\frac{{2a（x+\frac{1}{a}）（x-\frac{1}{2}）}}{x^2}$；
∵a∈（-3，-2），$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜-\frac{1}{3}$；
∴x∈[1，2]時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
∴$|f（{x_1}）-f（{x_2}）{|_{max}}=f（1）-f（2）=（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a$；
因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[1，2]，使不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞（m-2+ln2）a-2ln2成立；
∴$（a-2）ln2+\frac{1}{2}-2a＞（m-2+ln2）a-2ln2$
化簡(jiǎn)得$ma＜\frac{1}{2}$，又-3＜a＜-2
∴$m＞\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}∈（-\frac{1}{4}，-\frac{1}{6}）$；
∴$m≥-\frac{1}{6}$；
∴m的取值范圍為$[-\frac{1}{6}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，函數(shù)極值的定義及求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及單調(diào)性定義的運(yùn)用，恒成立問(wèn)題的解決方法，不等式的性質(zhì)．