【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明: .

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析:()先代入,對求導(dǎo)數(shù),再算出,進(jìn)而可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;()先構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值,,進(jìn)而可證當(dāng)時(shí),

試題解析:()解:當(dāng)時(shí), ,

所以

所以, .

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.

)證法一:當(dāng)時(shí), .

要證明,只需證明.

以下給出三種思路證明.

思路1:設(shè),則.

設(shè),則,

所以函數(shù) 上單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>,

所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且

因?yàn)?/span>時(shí),所以,即

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

思路2:先證明

設(shè),則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

所以

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

所以要證明,

只需證明

下面證明

設(shè),則

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

所以

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

由于取等號的條件不同,

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

(若考生先放縮,或、同時(shí)放縮,請參考此思路給分。

思路3:先證明.

因?yàn)榍與曲線的圖像關(guān)于直線對稱,

設(shè)直線 與曲線, 分別交于點(diǎn), ,點(diǎn), 到直線

的距離分別為,

其中,

設(shè) ,則

因?yàn)?/span>,所以

所以上單調(diào)遞增,則

所以

設(shè) ,則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

所以當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以

所以

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

證法二:因?yàn)?/span>,

要證明,只需證明.

以下給出兩種思路證明.

思路1:設(shè),則.

設(shè),則

所以函數(shù) 上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,

所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且.

因?yàn)?/span>,所以,即

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

綜上可知,當(dāng)時(shí),

思路2:先證明,且

設(shè),則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

,得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).

再證明

因?yàn)?/span>,且不同時(shí)取等號,

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí),

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C.2
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