【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調性;

(2)若的圖象與直線交于兩點,且,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)當時,上單調遞減;當時,上單調遞減,在上單調遞增;當時,上單調遞減,在上單調遞增;(2).

【解析】

(1)先求導數(shù),根據(jù),以及三種情況討論導函數(shù)符號,進而確定對應單調性;

(2)先構造函數(shù),再求導數(shù),根據(jù)以及兩種情況討論函數(shù)單調性,結合單調性確定滿足條件的不等式,解得m的取值范圍,最后利用零點存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個零點.

(1)依題意,,.

①若,則,故上單調遞減

②若,令,解得.

i)若,則,,則當時,,單調遞減,當時,,單調遞增;

ii)若,則,,則當時,單調遞減,當時,單調遞增.

綜上所述,當時,上單調遞減;當時,上單調遞減,在上單調遞增;當時,上單調遞減,在上單調遞增.

(2)令,則由題意可知有兩個大于1的實數(shù)根,顯然.

,則.

,則當時,,當時,,

要滿足已知條件,必有此時無解;

,則當時,,當時,,

要滿足已知條件,必有解得.

時,上單調遞減,,故函數(shù)上有一個零點.

易知,且,下證:.

,則,當時,,

時,,故,即

,故

上單調遞增,故上有一個零點.

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為.

練習冊系列答案
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