Question

在三棱柱中，側(cè)面,已知

（1）求證：平面

（2）試在棱（不包含端點(diǎn)）上確定一點(diǎn)的位置，使得

（3）在（2）的條件下，若,求二面角的平面角的正弦值。

Answer 1

證明：

（1）∵BC=1    BB₁=2    ∠BCC₁=60^o

∴BC₁²=1+4-2·1·2cos60^o=3

∴BC₁=

∴BC²+BC₁²=CC₁²

∴C₁B⊥BC

∵AB⊥而BB₁C₁CABBC₁

BC₁⊥而ABC

（2）∵AB⊥而BCC₁B₁

BC₁⊥BC

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

∴B（0，0，0），C（1，0，0），C₁（0，，0），B₁（-1， ，0），

A（0，0，z）

設(shè)E（a，b，0）

∴

∴（a-1，b，0）=（-1，，0）

∴E（1-，，0）

∴

∴

（-1，-，z）·（-2+，-，0）

∴（1+）（2+）+（-）（-）=0

²-3+2+3²-=0

4²-6+2=0

=1（舍）或=

∴

∴E是CC₁中點(diǎn)

（3）設(shè)面AEB₁的法向量

A₁（-1，，），A（0，0，），E（）

∴    ∴

∴

設(shè)面A₁B₁E的法向量

    ∴

∴

∴