Question

若存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R均有f（x+T）=T•f（x），則稱f（x）為T線性相關(guān)函數(shù)．
（1）判斷g（x）=x是否為T線性相關(guān)的函數(shù)；
（2）若h（x）=sinkx為T線性相關(guān)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由新定義，得到對(duì)任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，即可判斷；
（2）討論k=0，h（x）=0，顯然h（x）=0為T線性相關(guān)函數(shù)；k≠0，因?yàn)閔（x）=sinkx為T線性相關(guān)函數(shù)，所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有 h（x+T）=Th（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．由正弦函數(shù)的值域，可判斷T=±1．再分別討論T=1，T=-1，求出k的取值．

解答： 解：（1）對(duì)于非零常數(shù)T，g（x+T）=x+T，Tg（x）=Tx．
因?yàn)閷?duì)任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以g（x）=x不是T線性相關(guān)的函數(shù)；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，h（x）=0，顯然h（x）=0為T線性相關(guān)函數(shù)；
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閔（x）=sinkx為T線性相關(guān)函數(shù)，
所以存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有
h（x+T）=Th（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1，
當(dāng)T=1時(shí)，sin（kx+k）=sinkx 成立，則k=2mπ，m∈Z．
當(dāng)T=-1時(shí)，sin（kx-k）=-sinkx 成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，
則-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-2（m-1）π，m∈Z．
綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義及運(yùn)用，考查存在性與恒成立思想，注意運(yùn)用特值法，考查正弦函數(shù)的有界性及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．